Existence and Uniqueness of Optimal Control to the Navier-Stokes Equations

In this note we establish the existence and uniqueness of solutions for optimal control problems for the 2D Navier-Stokes equations in a 2D-channel. Our approach is based on infinite-dimensional optimization ; the cost functional is shown to be strictly convex. Generalization to other control problems as well as a gradient algorithm are presented. Existence et unicité du contrôle optimal des équations de Navier-Stokes Résumé : Dans cette note, nous démontrons l’existence et l’unicité de solutions pour des problèmes de contrôle optimal pour les équations de Navier-Stokes dans un canal bidimensionnel. Notre approche est fondée sur l’optimisation en dimension infinie ; nous montrons que la fonctionnelle du coût est strictement convexe. Quelques généralisations à d’autres problèmes du contrôle ainsi qu’un algorithme du gradient sont aussi présentés. Version française abrégée. Dans cette note, nous étudions le problème du contrôle optimal des équations de Navier-Stokes dans un canal bidimensionnel Ω. Nous nous plaçons dans le cadre d’optimisation en dimension infinie et nous montrons que la fonctionnelle du coût est strictement convexe. Les équations de Navier-Stokes sont écrites sous la forme abstraite : du dt + Ay +B(u) = Bφ, u(0) = u0, 1 où φ est le paramètre de contrôle supposé appartenir à un sous-ensemble H de L(0, T, (L(Ω))) qui est fermé, borné et convexe. La fonctionnelle de coût est donnée par J(φ) = 1 2 ∫ T